Бинарные деревья

На главную

Определение

Бинарное (двоичное) дерево (binary tree) - это упорядоченное дерево, каждая вершина которого имеет не более двух поддеревьев, причем для каждого узла выполняется правило: в левом поддереве содержатся только ключи, имеющие значения, меньшие, чем значение данного узла, а в правом поддереве содержатся только ключи, имеющие значения, большие, чем значение данного узла.

Бинарное дерево является рекурсивной структурой, поскольку каждое его поддерево само является бинарным деревом и, следовательно, каждый его узел в свою очередь является корнем дерева.

Узел дерева, не имеющий потомков, называется листом.

Схематичное изображение бинарного дерева:

Бинарное дерево может представлять собой пустое множество.

Бинарное дерево может выродиться в список:
Вырожденное дерево

Построение бинарного дерева

Сначала мы должны определить структуру для создания корня и узлов дерева:

template<class T>
struct TNode {
   T value;
   TNode *pleft, *pright;

   //constructor
   TNode() {
      pleft = pright = 0;
   }
};

Здесь поля pleft и pright - это указатели на потомков данного узла, а поле value предназначено для хранения информации.

Теперь мы можем написать рекурсивную функцию, которая будет вызываться при создании дерева:

template<class T>
void makeTree(TNode<T>** pp, T x) {
   if(!(*pp)) {
      TNode<T>* p = new TNode<T>();
      p->value = x;
      *pp = p;
   }
   else {
      if((*pp)->value > x)
         makeTree(&((*pp)->pleft), x);
      else
         makeTree(&((*pp)->pright), x);
   }
}

Эта функция добавляет элемент x к дереву, учитывая величину x. При этом создается новый узел дерева.

Обход дерева

Функция, выполняющая обход дерева, позволяет перебрать все элементы, содержащиеся в дереве.
В приведенной ниже реализации функция обхода дерева будет просто выводить на экран значение поля value каждого узла дерева (включая его корень):

template<class T>
void walkTree(TNode<T>* p) {
   if(p) {
      walkTree(p->pleft);
      cout << p->value << ' ';
      walkTree(p->pright);
   }
}

При работе с деревьями обычно используются рекурсивные алгоритмы. Использование рекурсивных функций менее эффективно, поскольку многократный вызов функции расходует системные ресурсы. Тем не менее, в данном случае использование рекурсивных функций является оправданным, поскольку нерекурсивные функции для работы с деревьями гораздо сложнее и для написания, и для восприятия кода программы.
Например, нерекурсивная функция для обхода дерева может выглядеть так:

template<class T>
void walkNotRec(TNode<T>* tree) {
   if (tree) {
      TNode<T> temp;
      TNode<T>* ptemp = &temp;
      TNode<T>* p = ptemp, *c = tree, *w;
      while (c != ptemp) {
         cout << c->value;
         w = c->pleft;
         c->pleft = c->pright;
         if(c == p)
             c->pright = 0;
         else
             c->pright = p;         
         p = c;
         if (w) c = w;
         
      }
   }
}

Применение

Организация данных с помощью бинарных деревьев часто позволяет значительно сократить время поиска нужного элемента. Поиск элемента в линейных структурах данных обычно осуществляется путем последовательного перебора всех элементов, присутствующих в данной структуре. Поиск по дереву не требует перебора всех элементов, поэтому занимает значительно меньше времени. Максимальное число шагов при поиске по дереву равно высоте данного дерева, т.е. количеству уровней в иерархической структуре дерева.

На главную

Хостинг от uCoz